Tvorenie, Sekundárneho vzdelávania a školy
Lineárne a homogénne diferenciálne rovnice prvého poriadku. príklady riešenia
Myslím, že by sme mali začať s históriou slávneho matematické nástroje ako diferenciálnych rovníc. Ako všetky diferenciálneho a integrálneho počtu, tieto rovnice boli vynájdené Newton v neskorej 17. storočia. On veril, že to bol jeho objav tak dôležité, že ani zašifrovaná správa, ktorá dnes sa dá preložiť takto: "Všetky prírodné zákony opísané diferenciálnymi rovnicami" To sa môže zdať prehnané, ale je to pravda. Každý zákon fyziky, chémie, biológie, možno opísať pomocou nasledujúcich rovníc.
Obrovský prínos k rozvoju a vytvoreniu teórie diferenciálnych rovníc mať matematiku Euler a Lagrange. Už v 18. storočí objavili a vyvinuli to, čo je teraz študuje na vysokých univerzitných kurzov.
Nový míľnik v štúdiu diferenciálnych rovníc začali vďaka Anri Puankare. On vytvoril "kvalitatívne teóriu diferenciálnych rovníc", čo v kombinácii s teóriou funkcií komplexnej premennej významne prispel k založeniu topológia - vedy o vesmíre a jeho vlastnosti.
Čo sú to diferenciálne rovnice?
Mnoho ľudí sa bojí výrazu "diferenciálne rovnice". Avšak, v tomto článku sa budeme podrobne stanovuje podstatu tejto veľmi užitočné matematické nástroje, ktorý je v skutočnosti nie je tak zložité, ako sa zdá, z názvu. Aby bolo možné začať hovoriť o prvého poriadku diferenciálnej rovnice, musíte sa najprv zoznámiť so základnými pojmami, ktoré sú neodmysliteľne spojené s touto definíciou. A začneme s diferenciálom.
diferenciál
Mnoho ľudí vie, tento termín od strednej školy. Avšak, stále býva na to v detaile. Predstavte si, že graf funkcie. Môžeme zvýšiť do tej miery, že by niektorý z jeho segmentu stáva priamku. Bude to trvať dva body, ktoré sú nekonečne blízko pri sebe. Rozdiel medzi ich súradníc (X alebo Y), je minimálna. A to je volané rozdiel a značky označujú dy (diferenciálnu y) a dx (diferenciál x). Je dôležité si uvedomiť, že rozdiel nie je konečná hodnota, a to je význam a hlavné funkcie.
A teraz je potrebné vziať do úvahy nasledujúce prvky, ktoré budeme musieť vysvetliť pojem diferenciálne rovnice. Je - derivát.
derivát
Každý z nás musel počuť v škole a tento pojem. Hovorí sa, že derivát - je rýchlosť rastu alebo poklesu funkcie. Avšak, táto definícia stáva mätúce. Pokúsme sa vysvetliť odvodené podmienky diferenciálov. Vráťme sa k nekonečne intervale funkcie s dvoma bodmi, ktoré sú umiestnené v minimálnej vzdialenosti od seba. Ale aj za tejto funkcie na diaľku je čas pre zmenu na nejakú hodnotu. A popísať túto zmenu a prísť s derivátu, ktorý by inak bol napísaný ako pomer diferenciálov: f (x), = df / dx.
Teraz je potrebné vziať do úvahy základné vlastnosti derivátu. K dispozícii sú iba tri:
- Derivát súčet alebo rozdiel môže byť reprezentovaný ako súčet alebo rozdiel derivátov: (a + b) '= a' + b 'a (ab)' = a'-b '.
- Druhá vlastnosť je spojená s násobením. Odvodené diela - je súčet prácou jednej funkcie na iný derivát: (a * b) '= a' * b + a * b '.
- Derivát rozdielu môže byť napísané ako nasledujúce rovnice: (A / B) '= (a' * ba * b,) / b 2.
Všetky tieto funkcie príde vhod pri hľadaní riešení diferenciálnych rovníc prvého poriadku.
Tiež sú tu parciálne derivácie. Predpokladajme, že máme funkciu z, ktorá závisí na premenných x a y. Na výpočet parciálne derivácie tejto funkcie, napríklad, v X, je potrebné, aby sa premenné y pre konštantný a ľahko rozlíšiť.
integrálne
Ďalší dôležitý koncept - integrálne. V skutočnosti je to opak derivátu. Integrály je niekoľko druhov, ale najjednoduchšie riešenie diferenciálnych rovníc, musíme tie triviálne neurčitých integrálov.
Takže, čo je integrálnou? Povedzme, že máme nejaký vzťah f x. Berieme z nej integrálne a získať funkcie f (x) (to je často označovaná ako primitívne), čo je derivát pôvodnú funkciu. Preto F (x), = f (x). To tiež znamená, že integrál derivátu je rovná pôvodnú funkciu.
V riešení diferenciálnych rovníc je veľmi dôležité pochopiť význam a funkciu integrál, pretože majú veľmi často, aby ich nájsť riešenie.
Rovnica sa líši v závislosti od ich povahy. V ďalšej časti sa pozrieme na typy prvého rádu diferenciálnych rovníc, a potom sa dozvedieť, ako ich riešiť.
Triedy diferenciálnych rovníc
"Diffury" delený poradí derivátov zapojených do nich. Existuje teda prvej, druhej, tretej alebo ďalší príkaz. Oni môžu tiež byť rozdelené do niekoľkých tried: obyčajné a parciálne.
V tomto článku sa budeme uvažovať o obyčajných diferenciálnych rovníc prvého poriadku. Príklady a ich riešenie budeme diskutovať v nasledujúcich kapitolách. Domnievame sa, že iba TAC, pretože to je najbežnejšie typy rovníc. Bežná rozdelená do poddruhov: s oddeliteľnými premennými, homogénne a heterogénne. Ďalej budete učiť, ako sa líšia od seba navzájom, a naučiť sa ich riešiť.
Navyše, tieto rovnice môžu byť kombinované tak, že potom, čo získame sústavu diferenciálnych rovníc prvého poriadku. Také systémy, sme sa tiež pozrieť na a naučiť sa riešiť.
Preto uvažujeme len prvú objednávku? Vzhľadom k tomu, že je nutné začať s jednoduchým a popísať všetky spojené s diferenciálnymi rovnicami, v jednom článku je nemožné.
Rovnica s oddeliteľnými premennými
To je snáď najviac jednoduché diferenciálne rovnice prvého poriadku. Ide o príklady, ktoré môže byť zapísaný ako: y, = f (x) * f (y). Pre riešenie tejto rovnice potrebujeme zastúpenie vzorec derivátu ako pomer diferenciálov: y, = dy / dx. S tým získame rovnice dy / dx = f (x) * f (r). Teraz sa môžeme obrátiť na spôsobe riešenia štandardných príkladov: oddeliť premenných po častiach, teda rýchlo dopredu všetky premenné y v tej časti, kde je dy a tiež premennú x ... Získame rovnicu v tvare: dy / f (y) = f (x) dx, ktoré sa dosiahne tým, že integrály oboch častí. Nezabudnite na neustály že chcete dať po integrácii.
Riešenie akékoľvek "diffura" - je funkcia x Y (v našom prípade), alebo v prípade, že je číselný stav, odpoveď je číslo. Poďme preskúmať konkrétny príklad celý priebeh rozhodnutia:
y, = 2y * sin (x)
Previesť premenné v rôznych smeroch:
dy / y = 2 * sin (x) dx
Teraz sa integrály. Všetky z nich možno nájsť v osobitnej tabuľke integrálov. A dostaneme:
ln (y) = -2 * cos (x) + C
V prípade potreby môžeme vyjadriť "y" ako funkcia "X". Teraz môžeme povedať, že naše diferenciálne rovnice sa rieši, pokiaľ nie je uvedené podmienku. Môžu špecifikovať podmienky, napríklad, y (n / 2) = e. Potom budeme jednoducho nahradiť hodnoty týchto premenných v tomto rozhodnutí a nájsť hodnotu konštanty. V našom príklade je 1.
Homogénna prvého poriadku diferenciálnej rovnice
Teraz do zložitejších dielov. Homogénne diferenciálne rovnice prvého poriadku môže byť napísaný vo všeobecnej forme ako: y, = z (x, y). Je potrebné poznamenať, že správna funkcia dvoch premenných je jednotná, a nemôže byť rozdelený na dve časti v závislosti na: z x a z y. Skontrolujte, či rovnica je homogénna, alebo nie, je veľmi jednoduchá: vykonať substitúcia x = k * X a Y = k * y. Teraz režeme všetky k. Ak sú vynechané tieto písmená, potom rovnica homogénny a môže bezpečne pokračovať k jeho riešeniu. Pri pohľade do budúcnosti, hovoríme: princíp riešenia týchto príkladov je tiež veľmi jednoduché.
Je potrebné, aby striedanie: y = t (x) * X, kde t - funkcia, ktorá závisí aj na x. Potom môžeme vyjadriť derivát: y '= t' (x) * x + t. Dosadením všetko do nášho pôvodnej rovnice a jeho zjednodušenie, máme príklad separácia premenných t ako x. Rieši to a získať závislosť t (x). Keď sme sa dostali, jednoducho nahradiť náš predchádzajúci substitúcia y = t (x) * x. Potom získame závislosť y na x.
Aby to bolo jasnejšie, budeme rozumieť príklad: x * y, = yx * e y / x.
Pri kontrole nahradenie všetkých klesá. Takže rovnica je naozaj homogénna. Teraz vykonať ďalšie substitúciu, sme sa hovorí o: y = t (x) * x a y '= t' (x) * x + t (x). Po zjednodušenie tejto rovnice: t, (x) * x = -e t. Rozhodli sme sa získať vzorku so separovaným premennými a dostaneme: e -t = ln (C * x). Len potrebujeme nahradiť t podľa y / x (pretože ak y = t * x, potom t = y / x), a dostaneme odpoveď: e -y / x = ln ( x * C).
Lineárne diferenciálne rovnice prvého poriadku
Je čas, aby zvážila ďalšie široké téma. Pozrieme sa heterogénna prvého poriadku diferenciálnej rovnice. Ako sa líši od predchádzajúcich dvoch? Priznajme si to. Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu vo všeobecnej forme rovnica môže byť zapísaný takto: y, + g (x) * y = z (x). Je potrebné spresniť, že z (x) a g (x), môže byť konštantný hodnoty.
Tu je príklad: y, - y * x = x 2.
Existujú dva spôsoby, ako riešiť a objednávame Skúmajme obaja. Prvá - metóda variácie ľubovoľných konštánt.
Pre vyriešenie rovnice týmto spôsobom, je potrebné, aby sa rovnali prvá pravá strana na nulu, a vyriešiť výsledné rovnicu, ktorá po prevode dielov sa stáva:
y, = y * x;
dy / dx = y * x;
dy / y = XDX;
ln | y | = x 2/2 + C;
y = e x2 / 2 * C y = C 1 * E x2 / 2.
Teraz je potrebné nahradiť konštanta C1 na funkciu D (x), ktoré nájdete.
y = v * e x2 / 2.
Čerpať náhradný derivát:
y '= v' * e x2 / 2-X * v * e x2 / 2.
A náhradou tieto výrazy do pôvodnej rovnice:
v, * e x2 / 2 - x * v * e x2 / 2 + x * v * e x2 / 2 = x 2.
Môžete vidieť, že na ľavej strane oboch termínov sú znížené. Ak sa napríklad, že sa nestalo, potom ste urobili niečo zlé. Budeme aj naďalej:
v, * e x2 / 2 = x 2.
Teraz riešime obvyklý rovnicu, v ktorej chcete oddeliť premenných:
dv / dx = x 2 / e x2 / 2;
dv = x 2 * e - x2 / 2 dx.
Ak chcete odstrániť integrál, musíme použiť integráciu per partes tu. Avšak, toto nie je téma tohto článku. Ak máte záujem, môžete sa naučiť sami vykonávať takéto akcie. Nie je to ťažké, a dostatok schopnosti a starostlivosti nie je časovo náročné.
S odkazom na druhú metódu riešenia nehomogénne rovnice: Bernoulliho metóda. Aký prístup je rýchlejší a jednoduchší - je to len na vás.
Takže, pri riešení tejto metódy, musíme vykonať substitúciu: y = k * n. Tu, k a n - niektoré funkcie v závislosti na x. Potom sa derivát bude vyzerať: y '= k' * n + k * n '. Náhradné dve substitúcie v rovnici:
k '* n + k * n ' + x * k * n = x 2.
Skupina up:
k '* n + k * ( n' + x * n) = x 2.
Teraz je potrebné, aby sa rovnali nule, ktorá je v zátvorkách. Teraz, keď sa spojí dva výslednej rovnice, získame systém prvého rádu diferenciálnych rovníc, ktoré majú byť riešené:
n, + x * n = 0;
K, * n = x 2.
Prvá rovnosť rozhodnúť, ako obvyklé rovnice. Ak to chcete vykonať, je nutné oddeliť premenných:
dn / dx = x * v;
dn / n = XDX.
Berieme integrálne a získate: ln (n) = x 2/2. Potom, keď vyjadríme n:
n = e x2 / 2.
Teraz nahradiť výsledné rovnicu do druhej rovnice:
K, * e x2 / 2 = x 2.
A transformácie, získame rovnaké rovnice, ako v prvom spôsobe:
dk = x 2 / e x2 / 2.
Tiež nebude prejednávať ďalšie kroky. Hovorí sa, že na prvý prvého rádu diferenciálnych rovníc riešenie spôsobuje značné problémy. Avšak hlbšie ponorenie do témy začína byť lepší a lepší.
Kde sú diferenciálne rovnice?
Veľmi aktívny diferenciálne rovnice používané vo fyzike, ako takmer všetky základné zákony sú písané v diferenciálnom tvare, a tie vzorce, ktoré vidíme - riešenie týchto rovníc. V chémii, sú používané z rovnakého dôvodu: základné zákony sú odvodené cez ne. V biológii, diferenciálne rovnice sa používajú pre modelovanie správania systémov, ako sú dravec - korisť. Môžu byť taktiež použité na vytvorenie modelov reprodukcie, napríklad kolónií mikroorganizmov.
Ako diferenciálne rovnice pomôcť v živote?
Odpoveď na túto otázku je jednoduchá: nič. Ak nie ste vedec alebo inžinier, je nepravdepodobné, že budú užitočné. Avšak, nie je na škodu vedieť, čo diferenciálne rovnice a je riešená pre celkový rozvoj. A potom otázka syna alebo dcéru, "čo je to diferenciálne rovnice?" Nechceme vám dať do slepej uličky. No, ak ste vedec alebo inžinier, potom viete, že význam tejto témy v každom vede. Ale čo je najdôležitejšie, že sa na otázku "ako riešiť diferenciálnej rovnici prvého poriadku?" budete vždy schopní dať odpoveď. Súhlasíte s tým, že je vždy príjemné, keď si uvedomíte, že to, čo ľudia sú dokonca bojí, ako to zistiť.
Hlavnými problémami v štúdii
Hlavným problémom v chápaní tejto témy je zlý zvyk integrácie a diferenciácie funkcií. Ak ste nepríjemné PREBERÁTE deriváty a integrály, je pravdepodobne väčšiu cenu učiť sa, učiť sa rôzne metódy integrácie a diferenciácie, a až potom pristúpiť k štúdiu materiálu, ktorý bol popísaný v článku.
Niektorí ľudia sú prekvapení, že dx môžu byť prenesené, ako bolo predtým (v škole) tvrdil, že frakcia dy / dx je nedeliteľná. Potom je potrebné čítať literatúru o derivátu a pochopiť, že je to postoj nekonečne malých množstvách, ktoré možno manipulovať pri riešení rovníc.
Mnohí ľudia nemajú okamžite uvedomiť, že riešenie diferenciálnych rovníc prvého poriadku - to je často funkcie alebo neberuschiysya integrál, a to klam im dáva veľa problémov.
Čo iné môžu byť študované, aby lepšie pochopiť?
To je najlepšie začať ďalší ponorenie do sveta diferenciálneho počtu špecializovaných učebníc, napríklad, v matematickej analýzy pre študentov non-matematických špecialít. Potom môžete presunúť na ďalšie odborné literatúre.
Hovorí sa, že okrem diferenciálu, stále existujú integrálne rovnice, takže budete mať vždy niečo usilovať a čo študovať.
záver
Veríme, že po prečítaní tohto článku budete mať predstavu o tom, čo diferenciálne rovnice a ako ich správne riešiť.
V každom prípade, matematika akýmkoľvek spôsobom užitočné pre nás v živote. Rozvíja logiku a pozornosť, bez ktorých každý človek, ako bez rúk.
Similar articles
Trending Now