Maclaurin a rozklad niektorých funkcií

Študovať vyššej matematiky by si mali uvedomiť, že súčet Mocninné radu v intervale konvergencie radu z nás, je stály a neobmedzený počet krát diferencované funkcie. Vyvstáva otázka: je možné tvrdiť, že vzhľadom ľubovoľnú funkciu f (x) - je súčet Mocninné radu? To znamená, že za akých podmienok F-ke f (x) môže byť reprezentovaný napájací sériu? Dôležitosť tohto problému je, že je možné nahradiť približne £ theological f (x) je súčet prvých niekoľkých podmienok napájania séria, to je polynóm. Takáto náhrada funkcie je pomerne jednoduchý výraz - polynóm - je pohodlné a pri riešení určitých problémov v matematickej analýze, a to pri riešení integrálov pri výpočte diferenciálnych rovníc , atd ...

Je dokázané, že z nejakého f-ii f (x), vyznačujúci sa tým, že deriváty (n + 1) tý, aby sa môže vypočítať, vrátane najnovšej v blízkosti (a - R; x ₀ + R) bodu x = a reálna vzorec je:

Tento vzorec je pomenovaná po slávnom vedec Brooke Taylor. Množstvo, ktoré je odvodené od predchádzajúceho, je nazývaný Maclaurin série:

Pravidlo, ktoré umožňuje vyrábať expanziu v sérii Maclaurinových:

1. Určovať deriváty prvý, druhý, tretí, ... poradí.
2. Vypočítať sú deriváty u x = 0.
3. Záznam Maclaurin séria pre túto funkciu, a potom sa určí interval konvergencie.
4. Určite interval (R, R), kde zvyšok vzorca Maclaurin

R _n (x) -> 0 pre n -> nekonečno. Ak existuje, že funkcia f (x) sa musí rovnať súčtu Maclaurinových radov.

Zoberme si teraz na Maclaurin séria pre jednotlivé funkcie.

1. To znamená, že najprv je potrebné f (x) = e ^x. Samozrejme, že ich vlastnosti, takže f-Ia odvodil rad príkazov, a F ^{(k) (x)} = e ^x, kde k je rovné všetkých prirodzených čísel. Náhradné x = 0. Získame f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... k vyššie uvedenému množstvo e ^x základe To bude vyzerať nasledovne:

2. Maclaurinův radu pre funkcie f (x) = sin x. Okamžite určiť, že F-ke pre všetky neznáme deriváty budú mať, okrem f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f', (x)} = -sin x = sin (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), kde k je rovné akejkoľvek kladné číslo. To znamená, že jednoduché výpočty, môžeme konštatovať, že rad pre f (x) = sin x bude vyzerať takto:

3. Teraz uvažujme Iju F-F (x) = cos x. Nie je známe, pre všetky deriváty ľubovoľnom poradí, a ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Opäť ktorý urobil niektoré výpočty, zistíme, že rad pre f (x) = cos x bude vyzerať nasledovne:

Takže, máme uvedené najdôležitejšie vlastnosti, ktoré možno rozšíriť v sérii Maclaurinových, ale dopĺňajú Taylorová radu pre niektoré funkcie. Teraz ich budeme zoznamu rovnako. Treba tiež poznamenať, že Taylorov rad a rad Maclaurinův sú dôležitou súčasťou dielne série rozhodnutí vo vyšších matematiky. Takže, Taylorová radu.

1. Prvá je rad f-ii f (x) = ln (1 + x). Rovnako ako v predchádzajúcich príkladoch, za čo f (x) = ln (1 + x) môžu byť zložené číslo, pomocou všeobecný tvar Maclaurinových radov. ale pre túto funkciu Maclaurinův možno získať oveľa jednoduchšie. Integrácia geometrickom rade, získame číslo pre f (x) = ln (1 + x) vzorky:

2. A druhá, ktorá bude v konečnom v tomto článku, bude rad pre f (x) = arctg x. Pre x, ktoré patria do intervalu [1; 1] platí rozklad:

To je všetko. V tomto článku som sa rozhliadol po najpoužívanejšie Taylorová radu a Maclaurin série na vyššej matematiky, najmä v ekonomických a technických vysokých škôl.