Sústavy lineárnych rovníc. Homogénny systém lineárnych rovníc

V škole, každý z nás študovali rovnice a samozrejme, na sústavu rovníc. Ale nie veľa ľudí vie, že existuje niekoľko spôsobov, ako ich riešiť. Dnes sa dočkáme presne všetky metódy na riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc, ktoré sa skladajú z viac ako dvoch rovníc.

príbeh

Dnes vieme, že umenie riešenie rovníc a ich systémov vznikol v starovekom Babylone a Egypta. Avšak rovnosť vo svojej známej podobe sa objavili na nás po vzniku znamienko rovnosti "=", ktorý bol predstavený v roku 1556 anglický matematik záznamu. Mimochodom, tento znak bol vybraný z dôvodu: to znamená, že dve paralelné rovné segmenty. V skutočnosti najlepším príkladom rovnosti nepríde.

Zakladateľ modernej nápisy a symboly nepoznané miere, francúzsky matematik Fransua Viet. Avšak, jeho označenie je významne odlišné od dnešného dňa. Napríklad štvorec neznámeho čísla on označený písmenom Q (lat "quadratus".) A kocky - (. Lat "Cubus"), písmeno C. Tieto symboly sa zdať nepríjemné, ale potom to bolo najviac intuitívne spôsob, ako napísať sústavy lineárnych rovníc.

Nevýhodou v prevládajúcich metód riešenia bolo to, že matematici do úvahy iba pozitívne korene. Možno je to spôsobené tým, že záporné hodnoty nemajú žiadnu praktickú aplikáciu. Tak či onak, ale prvé, ktoré majú byť považované za negatívne korene začal po talianskych matematiky Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano a Raphael Bombelli v 16. storočí. Moderný vzhľad, hlavný spôsob riešenia kvadratickej rovnice (cez diskriminačné) bol založený až v 17. storočí cez práce Descartes a Newton.

V stredu švajčiarsky matematik 18. storočia Gabriel Cramer našli nový spôsob, ako riešenie sústav lineárnych rovníc jednoduchšie. Táto metóda bola neskôr pomenovaná po ňom, a do dnešného dňa sme ju používať. Ale o spôsobe Kramera hovoriť o niečo neskôr, ale teraz budeme diskutovať o lineárnych rovníc a ich riešenia oddelene od systému.

lineárnych rovníc

Lineárne rovnice - najjednoduchšie rovnice s premennou (y). Patrí do algebraické. Lineárne rovnice napísané vo všeobecnej forme takto: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... a _n * x _n = b. Predloženie tohto formulára budeme potrebovať pri príprave systémov a matíc ďalej.

Systém lineárnych rovníc

Definícia tohto termínu je: súbor rovníc, ktoré majú spoločné neznámych a všeobecné riešenie. Typicky, v škole všetko vyriešil systém s dvoma alebo dokonca troma rovnicami. Ale existujú systémy so štyrmi alebo viac zložiek. Pozrime sa najprv, ako je zapísať tak, že neskôr to bolo vhodné riešiť. Po prvé, systém lineárnych rovníc bude vyzerať lepšie, ak sú všetky premenné sú zapísané ako x s zodpovedajúcim indexom: 1,2,3 a tak ďalej. Po druhé by mal viesť všetky rovnice do kanonickej formy: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... a _n * x _n = b.

Po všetkých týchto krokov, môžeme začať povedať, ako nájsť riešenie sústav lineárnych rovníc. Moc na to príde vhod matricu.

matrice

Matrix - tabuľka, ktorá sa skladá z riadkov a stĺpcov, a jeho prvky sú v ich priesečníku. To môže byť buď konkrétnu hodnotu alebo premennú. Vo väčšine prípadov sa na označenie prvkov, ktoré sú usporiadané pod indexov (napr ₁₁ alebo ₂₃ i). Prvé index označuje číslo riadka, a druhá - stĺpec. Vyššie uvedená matica ako je uvedené vyššie a akékoľvek iné matematické prvku môže vykonávať rôzne operácie. Tak, môžete:

1) Odpočítať a pridajte rovnakú veľkosť tabuľky.

2) sa vynásobí matice na ľubovoľnom počte alebo vektora.

3) Transpozícia: transformačná matica čiary v stĺpcoch, a stĺpce - v rade.

4) sa vynásobí matice, ak je počet riadkov sa rovná jednej z nich iný počet stĺpcov.

Diskutovať podrobne všetky tieto techniky, pretože sú užitočné pre nás v budúcnosti. Odčítanie a sčítanie matíc je veľmi jednoduché. Vzhľadom k tomu budeme mať rovnakú veľkosť matice, každý prvok z jednej tabuľky je príbuzný ku každému inému prvku. Tak sme pridali (odpočítať) dva z týchto prvkov (to je dôležité, aby stáli na rovnakom mieste vo svojich matriciach). Keď sa násobí počtom matice alebo vektora jednoducho násobiť každý prvok matice tým, že počet (alebo vektor). Prevedenie - veľmi zaujímavý proces. Veľmi zaujímavý niekedy ho vidieť v reálnom živote, napríklad pri zmene orientácie tabletu alebo telefónu. Ikony na ploche je matice, a so zmenou polohy, to je prevedenie a sa rozšíri, avšak zníži na výšku.

Poďme preskúmať viac o procese, ako je násobenie matíc. Aj keď nám povedal, a nie je užitočné, ale byť vedomí toho, že je stále užitočné. Násobiť dve matice môže byť iba za predpokladu, že počet stĺpcov v jednej tabuľke je zhodný s počtom ďalších radov. Teraz sa jeden riadok matice prvky a ďalšie prvky zodpovedajúcim stĺpci. Vynásobí ich k sebe a potom súčet (tj., Napríklad produkt prvkov ₁₁ a ₁₂ a na ₁₂ b a ₂₂ b sa rovná: a * b _{11 12} + ₁₂ * b a _22). Preto jediný položka tabuľky, a metóda podobná, sa ďalej naplní.

Teraz môžeme začať uvažovať o tom, ako riešiť sústavy lineárnych rovníc.

Gauss

Táto téma sa začali prebiehať v škole. Veľmi dobre vieme, pojem "systém dvoch lineárnych rovníc" a vedieť, ako ich vyriešiť. Ale čo v prípade, že počet rovníc je väčší než dva? To nám pomôže metóda Gauss.

Samozrejme, že tento spôsob je vhodné použiť, ak urobíte matice systému. Ale nemožno ho previesť a rozhodovať o jeho vlastné.

Tak, ako to vyriešiť pomocou systému lineárnych rovníc Gauss? Mimochodom, aj keď týmto spôsobom a pomenoval podľa neho, ale zistil, že v dávnych dobách. Gauss má operácie vykonávané pomocou rovníc, nakoniec viesť k celku na Echelon forme. To znamená, že je potrebné, aby top-down (ak je správne umiestniť) od prvého do posledného rovnice ubýval jeden neznámy. Inými slovami, musíme sa uistiť, že máme, povedzme, tri rovnice: Prvý z nich - tri neznáme v druhom - dva v tretej - jeden. Potom sa z poslednej rovnice, nájdeme prvý neznáme, nahradiť jej hodnotu v druhej alebo prvej rovnice a ďalšie nájsť zostávajúce dve premenné.

Cramerovo pravidlo

Pre rozvoj tejto techniky je dôležité osvojiť si zručnosti sčítanie, odčítanie matíc, ako aj potrebu byť schopní nájsť determinanty. Preto, ak ste nepríjemné robiť to všetko, alebo nevedia, ako je nutné sa naučiť a byť školení.

Čo je podstatou tejto metódy, a ako to urobiť tak, aby sa systém lineárnych rovníc Cramer? Je to veľmi jednoduché. Musíme vybudovať matice čísel (takmer vždy) koeficientov sústavy lineárnych rovníc. K tomu, jednoducho vziať počtu neznáma, a my zaistíme tabuľky v poradí, v akom sú zaznamenané v systéme. Ak pred číslo je znak "-", potom píšeme negatívne koeficient. Takže sme urobili prvú maticu koeficientov neznámych, nie vrátane čísla po znamienko rovnosti (samozrejme, že rovnica má byť znížená na kánonický tvar, kedy právo je len číslo a ľavá - všetky neznáme s koeficienty). Potom je potrebné vykonať niekoľko matice - jeden pre každú premennú. Pre tento účel sa v prvej matrici je nahradený jeden stĺpec čísel každý stĺpec s koeficientmi po znamienko rovnosti. Tak získame niekoľko matice a potom zisťujú, že ich determinanty.

Potom, čo sme zistili, že kvalifikácia, je to malé. Máme počiatočné matrice, a existuje niekoľko odvodené matice, ktoré zodpovedajú rôznych premenných. Ak chcete získať systémové riešenie, delíme determinant výslednej tabuľky na primárnu determinant stola. Výsledné číslo je hodnota jednej premennej. Rovnako tak nájdeme všetky neznámych.

iné metódy

Existuje niekoľko metód, aby sa získal roztok sústav lineárnych rovníc. Napríklad takzvaná metóda Gauss-Jordán, ktorý sa používa pre nájdenie riešenia systému kvadratickej rovnice, a tiež sa týka použitia matíc. K dispozícii je tiež spôsob Jacobi pre riešenie sústavy lineárnych rovníc. Ten sa ľahko prispôsobí všetkým počítačom a používa sa pri výpočte.

zložitejšie prípady

Komplexnosť zvyčajne dochádza v prípade, že počet rovníc je menší ako počet premenných. Potom môžeme určite povedať, že, alebo systém je v rozpore (teda nemá korene), alebo počet svojich rozhodnutiach tendenciu rásť do nekonečna. Ak máme druhý prípad - treba písať všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc. Bude zahŕňať aspoň jednu premennú.

záver

Tu sa dostávame až do konca. Aby sme to zhrnuli: musíme pochopiť, čo je systém matrix, naučila nájsť všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc. Navyše sme zvažovali ďalšie možnosti. Zistili sme, ako riešiť sústavy lineárnych rovníc: Gaussova eliminácia a Cramerovo pravidlo. Hovorili sme o ťažkých prípadoch aj iné spôsoby, ako nájsť riešenie.

V skutočnosti je tento problém je omnoho rozsiahlejšie, a ak chcete lepšie pochopiť, odporúčame vám prečítať viac špecializované literatúry.