Geometrickým radom. Príklad rozhodnutia

Zoberme si riadok.

7 28 112 448 1792 ...

Úplne jasne ukazuje, že hodnota ktoréhokoľvek z prvkov viac než predchádzajúce presne štyrikrát. Takže, táto séria je progresie.

geometrické rade tzv nekonečná postupnosť čísel, je hlavným znakom je, že tento počet sa získa z vyššie uvedenej vynásobením nejakým určitým počtom. To je vyjadrené nasledujúcim vzorcom.

_{AZ 1 = a Z · q} , kde z - počet vybraný prvok.

V súlade s tým, z ∈ N.

Čase, keď sa škola študoval geometrické progresiu - 9. triedy. Príklady pomôže pochopiť koncept:

0,25 0,125 0,0625 ...

18. 6. februára ...

na tomto vzorci základe priebeh menovateľa možno nájsť nasledujúcim spôsobom:

Ani q, alebo b _z nemôže byť nula. Tiež každý z prvkov rady čísel progresie nesmie byť nula.

V súlade s tým, aby sa zistilo ďalšie číslo čísla, násobiť posledne menovaných q.

Definovať tento postup, je nutné zadať prvý prvok ním a menovateľa. Potom je možné nájsť niektoré z týchto členov a ich výšku.

druh

V závislosti na q a _1, tento postup je rozdelený do niekoľkých typov:

• Ak je _1, a q je väčší ako jedna, potom sekvencie - zvyšuje s každým následným prvku geometrickým radom. Ich príklady sú podrobne popísané nižšie.

Príklad: ₁ = 3, q = 2 - väčší ako jedna, obidva parametre.

Potom postupnosť čísel môže byť písaný ako:

3 6 12 24 48 ...

• Ak | q | menšie ako jedna, tj, že je ekvivalentná k násobenie delenie, progresie s podobnými podmienkami - znižujúci sa geometrickou. Ich príklady sú podrobne popísané nižšie.

Príklad: ₁ = 6, q = 1/3 - ₁ je väčší ako jedna, q - menej.

Potom postupnosť čísel možno zapísať takto:

2.června 2/3 ... - akýkoľvek prvok viac prvkov nasledujúce ho, je 3 krát.

• Striedavý. Ak q <0, príznaky počtu sekvencií striedajúcich sa neustále bez ohľadu na _1, a prvky akéhokoľvek zvýšenia alebo zníženia.

Príklad: ₁ = -3, q = 2 - sú oba menšie ako nula.

Potom postupnosť čísel môže byť písaný ako:

3, 6, -12, 24, ...

vzorec

Pre pohodlné používanie, existuje mnoho geometrická postupnosť vzorcov:

• Vzorce Z-teho obdobie. To umožňuje výpočet prvku v určitej rade bez výpočtu predchádzajúce čísla.

Príklad: q = 3, a = ₁ 4. potrebné pre výpočet štvrtú progresiu prvok.

Riešenie: A = ₄ 4 3 · ^4-1 · 3 = 4 ³ = 4 · 27 = 108.

• Súčet prvých prvkov, ktorých počet je rovný z. To umožňuje vypočítať súčet všetkých prvkov v sekvencii k a _z vrátane.

≠ 0, tak, q nie je 1 - (Q 1) Vzhľadom k tomu, (1- q) je v menovateli, potom.

Poznámka: ak q = 1, potom postup by predstavovali rad donekonečna opakovať číslo.

Množstvo exponenciálne príklady: ₁ = 2, q = -2. Vypočítať S _5.

Riešenie: S ₅ = 22 - výpočet formule.

• Suma, ak | q | <1, a keď z tendenciu rásť do nekonečna.

Príklad: ₁ = _2, q = 0,5. Nájdite súčet.

Riešenie: S _z = 2 x = 4

Budeme chcete vypočítať súčet niekoľkých členov manuálu, uvidíte, že to je skutočne spáchaný na štyri.

S _z = 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + 0,0625 = 3,9375 4

Niektoré vlastnosti:

• Charakteristickou vlastnosťou. Ak túto podmienku To platí aj pre akýkoľvek z, potom daný číselný rad - geometrickou progresiu:

_AZ ² = A _{z -1} · _{AZ + 1}

• To je tiež štvorcový akékoľvek množstvo je exponenciálne prostredníctvom pridaním štvorcov ďalších dvoch čísel v danom riadku, v prípade, že sú v rovnakej vzdialenosti od prvku.

² a _z = a _{z - t} ² ₊ a _z + _t ^2, kde t - je vzdialenosť medzi týmito číslami.

• Tieto prvky sa líši od doby q.
• Logaritmov prvkov postupu, rovnako tvorí postup, ale aritmetiku, to znamená, že každý z nich viac než predchádzajúce určitým číslom.

Príklady niektorých klasických problémov

Aby sme lepšie pochopili, čo geometrickým radom, s príkladmi rozhodovanie o 9. ročníka môžu pomôcť.

• Podmienky: ₁ = 3, ₃ = 48. Find q.

Riešenie: každý nasledujúci prvok vo viac ako v predchádzajúcom q Čas. Je potrebné vyjadriť niektoré prvky prostredníctvom iných cez menovateľa.

V dôsledku toho, ₃ = Q ² · ₁

Dosadením q = 4

• Podmienky: ₂ = 6, a = ₃ 12. Výpočet S _6.

Riešenie: K tomu, stačí nájsť q, prvý prvok a náhradou do vzorca.

₃ = q · _2, v dôsledku toho, q = 2

₂ = q · A _1, tak a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Nájsť štvrtý prvok progresie.

Riešenie: stačí vyjadriť štvrtý prvok cez prvú a cez menovateľa.

₄ a ³ = q · a = ₁ -80

Príklad použitia:

• Banka klient prispel čiastku 10.000 rubľov, podľa ktorého každý rok bude klientovi istiny sa pridá 6% z nich hoci. Koľko peňazí je na účte po 4 rokoch?

Riešenie: počiatočné množstvo rovnajúce sa 10 tisíc rubľov. Takže, rok po investíciách na účte bude čiastka vo výške 10000 + 10000 = 10000 · 0,06 · 1,06

V súlade s tým, je množstvo do úvahy aj po uplynutí jedného roka sa vyjadriť takto:

(10000 · 1,06) · 10000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

To znamená, že každý rok sa suma zvýšila na 1,06 krát. Z tohto dôvodu, nájsť číslo účtu po 4 rokoch, stačí nájsť štvrtú progresie prvok, ktorá je daná prvý prvok rovnajúcu sa 10 tisíc, a menovateľ sa rovná 1,06.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10000 = 12625

Príklady problémov pri výpočte súčtu:

V rôznych problémov pomocou geometrickou. Príklad nájdenie súčet môže byť nastavený nasledujúcim spôsobom:

₁ = 4, q = 2, výpočet S _5.

Riešenie: všetky potrebné údaje pre výpočet sú známe, jednoducho nahradiť ich do vzorca.

S ₅ = 124

• ₂ = 6, a = ₃ 18. Vypočítajte súčet prvých šesť prvkov.

riešenie:

Geom. Priebeh každého prvku budúci väčšia ako predchádzajúca dobe q, to znamená, že pre výpočet sumy, ktorú je potrebné poznať prvok _A1 a menovateľa q.

₂ · q = ₃

q = 3

Rovnako tak je treba nájsť _{A1, A2} a vědoucně q.

₁ · q = ₂

₁ = 2

A potom stačí nahradiť známe údaje do vzorca množstvo.

S ₆ = 728.