Deriváty čísla: počítacie metódy a príklady

Možno, že pojem derivácia je poznajú všetci od strednej školy. Obvykle študenti majú ťažkosti pochopiť, čo je nepochybne veľmi dôležitá vec. Aktívne sa používajú v rôznych oblastiach ľudského života, a mnohí inžinierstvo boli založené práve na matematických výpočtov získaných derivátu. Ale skôr, než sa pristúpi k analýze toho, čo je derivát čísel, pretože výpočet a kde sa bude hodiť, ponoriť sa trochu do histórie.

príbeh

Koncept derivátu, ktorý je základom matematickej analýzy, bol otvorený (ešte lepšie povedané "vynašiel", pretože to je, ako taká, neexistuje v prírode) Isaakom Nyutonom, ktorý všetci poznáme z objavu gravitačný zákon. Bol to on, kto po prvýkrát použil tento koncept fyziky pre záväznosti rýchlosti a zrýchlenia telies. A mnohí vedci stále chváliť Newtona pre tento veľkolepý vynálezu, pretože v skutočnosti vymyslel základ diferenciálneho a integrálneho počtu, skutkového základu celého odboru matematiky zvanej "matematická analýza". Či už v čase, keď Nobelovej ceny, Newton pravdepodobne by ho dostal niekoľkokrát.

Nie je bez ďalších veľkých myslí. Okrem Newton na rozvoj deriváty a integrálnych pracovali takých vynikajúcich géniov Matematický Leonhard Euler, Lagrange a Louis Gotfrid Leybnits. Práve vďaka nim máme teórie diferenciálneho počtu v podobe, v akej existuje dodnes. Mimochodom, to je Leibniz objavil geometrické význam derivátu, ktorý bol nič viac, než je sklon tangenta ku grafu funkcie.

Čo je to derivát čísel? Bit opakovať, čo sa dialo v škole.

Aký je derivát?

Definovať tento pojem v niekoľkými rôznymi spôsobmi. Najjednoduchší vysvetlenie: Deriváty - to je rýchlosť funkcia zmeniť. Predstavujú graf akejkoľvek funkcie y x. Ak tomu tak nie je rovný, má niektoré krivky v grafe, obdobie rastu a poklesu. Ak budete mať akékoľvek nekonečne interval plánu, bude to úsečka rovno. Tak, že pomer veľkosti nekonečne segmente y k veľkosti súradnice x, a bude derivát funkcie v danom bode. Ak vezmeme do úvahy funkciu ako celok, skôr než v určitom bode, získame funkciu derivátu, tj určité závislosti na X Y.

Okrem toho, na rozdiel od fyzikálne význam derivátu ako funkcia rýchlosti zmeny, je tu tiež geometrický zmysel. Na tom sme sa teraz diskutovať.

geometrický význam

Samotné deriváty čísla sú určité číslo, ktoré nie je správne pochopenie nenesie žiadny význam. Ukazuje sa, že sa derivát ukazuje nielen rýchlosť rastu alebo znížiť funkciu a sklon dotyčnice ku grafu funkcie v tomto bode. Nie je celkom jasné vymedzenie. Poďme preskúmať to v detaile. Predpokladajme, že máme graf funkcie (aby úrokové krivky). To má nekonečný počet bodov, ale existujú oblasti, v ktorých iba jeden bod má maxima alebo minima. Prostredníctvom takéhoto bodu, môžete nakresliť priamku, ktorá by bola kolmá ku grafu funkcie v tomto bode. Táto linka bude nazývať tangenta. Predpokladajme, že zdvihol ju ku križovatke s osou OX. Takto získané medzi dotyčnicou a OX osi a uhol určí derivátu. Konkrétnejšie, tangens tohto uhla sa bude rovnať nej.

Hovorme trochu o konkrétnych prípadoch a deriváty Skúmajme čísla.

Osobitné prípady

Ako sme sa už zmienili, deriváty čísel - derivát hodnota v určitom mieste. Tu, napríklad, sa funkcia y = x ^2. Derivát x - čísla, ale všeobecne - funkcia rovná 2 * x. Ak potrebujeme vypočítať derivát, napríklad v bode x ₀ = 1, dostaneme y, (1) = 2 * 1 = 2. Je to veľmi jednoduché. Zaujímavý prípad je derivát komplexného čísla. Ak chcete prejsť do podrobného vysvetlenia toho, čo komplexného čísla, nebudeme. Postačí, keď poviem, že toto číslo, ktoré obsahuje tzv imaginárna jednotka - číslo, ktorého štvorec je rovná -1. Výpočet tohto derivátu je možné len za nasledovných podmienok:

1) musí byť prvého poriadku parciálne derivácie reálne a imaginárne časti Y a X.

2) Podmienky Cauchy-Riemann spojená s čiastočným rovnosti je popísané v prvom odseku.

Ďalšie zaujímavý prípad, aj keď nie tak zložité, ako predchádzajúce, je derivát záporné číslo. V skutočnosti, žiadne negatívne čísla môžu byť reprezentované ako pozitívny, vynásobená -1. No, derivát a konštantná funkcia rovná konštante vynásobené derivácie funkcie.

Bude zaujímavé dozvedieť sa o úlohe derivátov v ich každodennom živote, a to je teraz a diskutovať.

prihláška

Asi každý z nás aspoň raz za život pristihnem myslel, že matematika je nepravdepodobné, že by bolo užitočné pre neho. A taká komplikovaná vec ako derivát má pravdepodobne k ničomu. V skutočnosti, matematika - základná veda, a všetky jej plody vyvíja hlavne fyziku, chémiu, astronómiu a dokonca aj hospodárstvo. Derivát znamenal počiatok matematickej analýzy, ktoré nám dal príležitosť na vyvodenie záverov z grafov funkcií, a my sme sa naučili vykladať zákony prírody a premeniť ich vo svoj prospech, pretože to.

záver

Samozrejme, že nie každý môže byť užitočné pre derivátu v reálnom živote. Ale math rozvíja logiku, ktorá bude iste potrebovať. Nie nadarmo, pretože matematika je nazývaná kráľovnou vied: skladá sa zo základného porozumenia ďalších oblastí ľudského poznania.