Diferenciálne kalkulovanie funkcie jednej a viacerých premenných

Diferenciálny počet je časť matematickej analýzy, ktorá skúma derivát, diferenciály a ich použitie pri štúdiu funkcie.

História vzhľadu

Diferenciálny počet bol rozdelený na nezávislú disciplínu v druhej polovici 17. storočia vďaka dielam Newtona a Leibniza, ktorý formuloval základné návrhy v diferenciálnom počte a všimol si spojenia medzi integráciou a diferenciáciou. Od tohto momentu sa disciplína vyvíjala spolu s počtom integrálov, čím tvorila základ matematickej analýzy. Vznik týchto kameňov otvoril nové moderné obdobie v matematickom svete a spôsobil vznik nových disciplín vo vede. Tiež rozšíril možnosť uplatnenia matematiky v prírodných vedách a technológiách.

Základné pojmy

Diferenciálny počet sa zakladá na základných pojmoch matematiky. Sú to: skutočné číslo, kontinuita, funkcia a limit. Po chvíli sa postarali o moderný vzhľad vďaka integrálnej a diferenciálnej kalkulácii.

Proces tvorby

Tvorba diferenciálneho počtu v podobe aplikovanej a potom vedeckej metódy nastala pred vznikom filozofickej teórie, ktorú vytvoril Nikolaj Kužansky. Jeho diela sú považované za evolučný vývoj z úsudkov starovekej vedy. Napriek tomu, že filozof sám nebol matematik, jeho príspevok k rozvoju matematickej vedy je nepopierateľný. Kuzansky bol jedným z prvých, kto opustil úvahy o aritmetike ako o najpresnejšej oblasti vedy, čím položil matematiku tej doby na pochybnosti.

V starovekých matematikách bolo univerzálne kritérium jednotkou, zatiaľ čo filozof ponúkal ako nové opatrenie nekonečnosť namiesto presného čísla. V tejto súvislosti je obrátená reprezentácia presnosti v matematickej vede. Vedecké poznatky sú podľa neho rozdelené na racionálne a intelektuálne. Druhý je podľa vedca presnejší, pretože prvý dá len približný výsledok.

idea

Základná myšlienka a koncept v diferenciálnom počte súvisia s funkciou v malých štvrtiach určitých bodov. Preto je potrebné vytvoriť matematický prístroj na štúdium funkcie, ktorej správanie v malom susedstve stanovených bodov je blízke chovaniu polynomu alebo lineárnej funkcie. Vychádza z definície derivátu a rozdielu.

Vznik pojmu derivát bol spôsobený veľkým množstvom problémov prírodných vied a matematiky, čo viedlo k nájdeniu hodnôt limitov jedného typu.

Jednou z hlavných úloh, ktoré sa uvádzajú ako príklad, začínajúc triedami stredných škôl, je stanovenie rýchlosti bodu v priamke a konštrukcia dotykovej čiary do tejto krivky. Rozdiel je s tým spojený, pretože je možné aproximovať funkciu v malom susedstve v bode príslušnej lineárnej funkcie.

V porovnaní s konceptom derivácie funkcie reálnej premennej definícia diferenciálu jednoducho prechádza na funkciu všeobecnej povahy, najmä na obraz jedného euklidovského priestoru na iný.

Derivát

Nechajte bod pohybovať pozdĺž osi Oy, v čase, keď vezmeme x, čo sa meria od určitého začiatku momentu. Opíšte takýto pohyb funkciou y = f (x), ktorá zodpovedá každému časovému momentu x súradnice posunutého bodu. Táto funkcia v mechanike by sa mala nazvať zákonom pohybu. Hlavnou charakteristikou pohybu, najmä nerovnomerným, je okamžitá rýchlosť. Keď sa bod pohybuje pozdĺž osi Oy podľa zákona mechaniky, potom v náhodnom čase x získava súradnicu f (x). V časovom momente x + Δx, kde Δx označuje časový prírastok, bude jeho kadinátom f (x + Δx). Týmto spôsobom sa vytvorí vzorec Δy = f (x + Δx) - f (x), ktorý sa nazýva prírastok funkcie. Predstavuje cestu prechádzajúcu v čase od x do x + Δx.

V súvislosti s výskytom tejto rýchlosti sa zavádza derivát v čase. Pri ľubovoľnej funkcii sa derivát na pevnom bode nazýva limit (pod podmienkou jeho existencie). Môže byť označený určitými symbolmi:

F '(x), y', ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

Proces výpočtu derivátu sa nazýva diferenciácia.

Diferenciálny počet funkcií viacerých premenných

Táto metóda výpočtu sa používa pri štúdiu funkcie s niekoľkými premennými. Za prítomnosti dvoch premenných x a y sa čiastočný derivát vzhľadom na x v bode A nazýva derivátom tejto funkcie vzhľadom na x s fixnou y.

Môžu byť označené nasledujúcimi znakmi:

F '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x alebo ∂f (x, y) '/ ∂x.

Požadované zručnosti

Na úspešné štúdium a schopnosť riešenia difúzorov sa vyžadujú zručnosti v oblasti integrácie a diferenciácie. Aby sme pochopili diferenciálne rovnice, mali by sme pochopiť predmet derivátu a neurčitý integrál. Rovnako to neznamená, že sa učíme hľadať derivát implicitne definovanej funkcie. Je to spôsobené tým, že v procese štúdia je často potrebné používať integrály a diferenciáciu.

Typy diferenciálnych rovníc

Prakticky vo všetkých kontrolných prácach týkajúcich sa diferenciálnych rovníc prvého rádu existujú tri typy rovníc: homogénne, s oddeliteľnými premennými, lineárne nehomogénne.

Existujú tiež vzácnejšie odrody rovníc: s úplnými rozdielmi, Bernoulliho rovnice a ďalšie.

Základy riešenia

Najprv si treba zapamätať algebraické rovnice z kurzu školy. Obsahujú premenné a čísla. Na vyriešenie bežnej rovnice je potrebné nájsť súbor čísel spĺňajúcich danú podmienku. Tieto rovnice mali spravidla jeden koreň a na overenie správnosti bolo potrebné iba nahradiť túto hodnotu za miesto neznámeho.

Diferenčná rovnica je podobná. Vo všeobecnosti táto rovnica prvého rádu zahŕňa:

• Nezávislá premenná.
• Derivát prvej funkcie.
• Funkcia alebo závislá premenná.

V niektorých prípadoch môže chýbať jeden z neznámych, x alebo y, ale to nie je tak dôležité, pretože je potrebné mať prvú deriváciu bez derivátov vyšších rádov, takže riešenie a diferenciálny počet sú správne.

Na vyriešenie diferenciálnej rovnice nájdeme súbor všetkých funkcií, ktoré zodpovedajú danému výrazu. Takýto súbor funkcií sa často nazýva všeobecné riešenie DW.

Integrálny počet

Integrálny počet je jednou z častí matematickej analýzy, ktorá skúma koncepciu integrálu, vlastnosti a metódy výpočtu.

Často sa výpočet integrálu vyskytuje pri výpočte plochy zakriveného obrázku. Touto oblasťou sa rozumie limit, do ktorého oblasť polygónu napísaného na danom obrázku má tendenciu postupne zvyšovať svoju stranu, zatiaľ čo strany môžu byť vykonávané menej ako akákoľvek predtým špecifikovaná ľubovoľná malá hodnota.

Hlavnou myšlienkou pri výpočte plochy ľubovoľného geometrického čísla je vypočítať plochu obdĺžnika, čiže dokázať, že jeho plocha je rovná dĺžke a šírke. Pokiaľ ide o geometriu, potom všetky konštrukcie sú vytvorené pomocou pravítka a kompasu a pomer dĺžky k šírke je racionálna hodnota. Pri výpočte plochy obdĺžnikového trojuholníka môžete určiť, že ak položíte do neho rovnaký trojuholník, vytvorí sa obdĺžnik. V paralelograme je plocha vypočítaná podobnou, ale o niečo zložitejšou metódou, cez obdĺžnik a trojuholník. V polygónoch sa táto oblasť počíta cez trojuholníky, ktoré vstupujú do nej.

Pri určovaní milosti ľubovoľnej krivky táto metóda nefunguje. Ak ho zlomíte na jednotlivé štvorčeky, potom tam budú nevyplnené sedadlá. V takom prípade sa pokúste použiť dve kryty s obdĺžnikmi na vrchu a dno, čo znamená, že obsahujú funkčný graf a nezahŕňajú. Dôležité je spôsob, ako tieto obdĺžniky zlomiť. Taktiež ak budeme robiť stále viac a viac porúch, potom oblasť zhora a zhora musí konvergovať na určitú hodnotu.

Je potrebné vrátiť sa k metóde rozdelenia na obdĺžniky. Existujú dve populárne metódy.

Riemann formalizoval definíciu integrálu vytvoreného Leibnizom a Newtonom ako oblasť subgrafu. V tomto prípade sme považovali čísla pozostávajúce z množstva vertikálnych obdĺžnikov a získaných delením segmentu. Keď existuje obmedzenie na zníženie zlomu, ku ktorému sa zmenšuje plocha takejto veličiny, táto hranica sa nazýva Riemannovsky integrál funkcie na danom intervale.

Druhou metódou je konštrukcia Lebesgueovho integrálu, ktorý spočíva v rozdelení jeho rozsahu hodnôt na intervaly pre delenie domény na časti integrandu a potom zostavenie integrálnej sumy z hodnôt získaných v týchto častiach a následné súčtovanie s príslušnými meraniami predimagií týchto integrálov.

Moderné výhody

Jednou z hlavných manuálov o štúdiu diferenciálneho a integrálneho počtu bol napísaný Fichtenholzom, "Priebeh diferenciálneho a integrálneho počtu". Jeho učebnica je základnou pomôckou pri štúdiu matematickej analýzy, ktorá vydržala množstvo publikácií a prekladov do iných jazykov. Vytvára sa pre vysokoškolských študentov a dlhodobo sa používa v rôznych vzdelávacích inštitúciách ako jeden z hlavných študijných sprievodcov. Poskytuje teoretické údaje a praktické zručnosti. Prvýkrát vyšiel v roku 1948.

Algoritmus funkčného výskumu

Na preskúmanie metód funkcie diferenciálneho počtu je potrebné dodržať už definovaný algoritmus:

1. Nájdite doménu funkcie.
2. Nájdite korene danej rovnice.
3. Vypočítajte extrémy. Na tento účel vypočítajte derivát a body, kde sa rovná nule.
4. Nahradíme získanú hodnotu do rovnice.

Varianty diferenciálnych rovníc

DU prvého rádu (inými slovami, diferenciálny počet jednej premennej) a ich typy:

• Rovnica s oddeľujúcimi premennými: f (y) dy = g (x) dx.
• Najjednoduchšie rovnice alebo diferenciálny počet funkcií jednej premennej majú vzorec: y '= f (x).
• Lineárny nehomogénny DN prvého rádu: y '+ P (x) y = Q (x).
• Diferenčná rovnica Bernoulliho: y '+ P (x) y = Q (x) y ^a .
• Rovnica s celkovými rozdielmi: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Diferenciálne rovnice druhého rádu a ich typy:

• Lineárna homogénna diferenciálna rovnica druhého rádu s konštantnými hodnotami koeficientu: y ⁿ + py '+ qy = 0 p, q patrí R.
• Lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica druhého rádu s konštantnou hodnotou koeficientov: y ⁿ + py '+ qy = f (x).
• Lineárna homogénna diferenciálna rovnica: y ⁿ + p (x) y '+ q (x) y = 0 a nehomogénna rovnica druhého rádu: y + p (x) y' + q (x) y = f (x).

Diferenciálne rovnice vyšších rádov a ich typy:

• Diferenčné rovnice, ktoré umožňujú zostupný poriadok: F (x, y ^(k) , y ^{(k + 1)} , y, y ⁾ = 0.
• Lineárna rovnica vyššieho rádu je homogénna: y ⁽ⁿ⁾ + f _(n-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x) .

Kroky riešenia problému s diferenciálnou rovnicou

Pomocou DU sa riešia nielen matematické alebo fyzické otázky, ale aj rôzne problémy z biológie, ekonómie, sociológie a iné. Napriek širokej škále tém by ste mali pri riešení týchto problémov sledovať jednu logickú postupnosť:

1. Zostavenie DM. Jedna z najťažších fáz, ktorá si vyžaduje maximálnu presnosť, pretože akákoľvek chyba povedie k úplne nesprávnym výsledkom. Je potrebné zohľadniť všetky faktory ovplyvňujúce proces a určiť pôvodné podmienky. Malo by sa tiež zakladať na skutočnostiach a logických záveroch.
2. Riešenie zostavenej rovnice. Tento proces je jednoduchší ako prvý bod, pretože vyžaduje len prísne matematické výpočty.
3. Analýza a vyhodnotenie výsledkov. Výsledné riešenie by sa malo vyhodnotiť, aby sa stanovila praktická a teoretická hodnota výsledku.

Príklad použitia diferenciálnych rovníc v medicíne

Použitie DM v oblasti medicíny sa vyskytuje pri zostavovaní epidemiologického matematického modelu. Nemalo by sa zabúdať, že tieto rovnice sa vyskytujú aj v biológii a chémii, ktoré sú blízko k medicíne, pretože je dôležité študovať rôzne biologické populácie a chemické procesy v ľudskom tele.

V príklade danom epidémiou je možné zvážiť rozšírenie infekcie v izolovanej spoločnosti. Obyvatelia sú rozdelení do troch typov:

• Infikovaný, počet x (t), pozostávajúci z jedincov, nosičov infekcie, z ktorých každá je nákazlivá (inkubačná doba je krátka).
• Druhý druh zahŕňa vnímavých jedincov y (t), schopných kontrahovať pri kontakte s infikovanými.
• Do tretieho druhu patria nezvládnuteľní jedinci z (t), ktorí sú imúnni alebo zomreli v dôsledku ochorenia.

Počet jednotlivcov je konštantný, záznamy o narodení, prirodzené úmrtia a migrácia sa neberú do úvahy. V základoch budú dve hypotézy.

Percento morbidity v určitom čase je x (t) y (t) (predpoklad je založený na teórii, že počet prípadov je úmerný počtu križovatiek medzi pacientmi a vnímavými zástupcami, ktoré v prvej aproximácii budú úmerné x (t) y (t), v Z tohto dôvodu sa počet prípadov zvyšuje a počet citlivých ľudí klesá s rýchlosťou, ktorá sa vypočíta podľa vzorca ax (t) y (t) (a> 0).

Počet necitlivých jedincov, ktorí získali imunitu alebo zomrel, sa zvyšuje pomerne k počtu prípadov, bx (t) (b> 0).

V dôsledku toho je možné zostaviť systém rovníc zohľadňujúci všetky tri ukazovatele a vyvodiť závery na jeho základe.

Príklad použitia v ekonomike

Diferenciálny počet sa často používa v ekonomickej analýze. Hlavnou úlohou v ekonomickej analýze je štúdium množstiev z ekonomiky, ktoré sú napísané vo forme funkcie. Používa sa na riešenie problémov, akými sú napríklad zmeny príjmov bezprostredne po zvýšení daní, zavedenie ciel, zmeny v príjmoch spoločnosti pri zmene hodnoty výroby, v akom pomere môžu nahradení zamestnanci nahradiť novými zariadeniami. Na vyriešenie takýchto otázok je potrebné vytvoriť odkazovú funkciu z prichádzajúcich premenných, ktoré sa potom skúmajú pomocou diferenciálneho počtu.

je často nutné nájsť najoptimálnejšie výkon v ekonomickej sfére: maximálnu produktivitu, najvyšší príjem, minimálne náklady a tak ďalej. Každé takéto zložky je funkciou jedného alebo viacerých argumentov. Napríklad produkcia možno považovať za funkciu práce a kapitálu. V tejto súvislosti, nájdenie vhodného hodnotu, môže byť znížená na nájdenie maximálnej alebo minimálnej funkcie jednej alebo viacerých premenných.

Takéto problémy vytvoriť triedu extrémnych problémov v ekonomickej oblasti, pre ktorú potrebujú diferenciálneho počtu. Ak sa požaduje ekonomickej indikátor minimalizovať alebo maximalizovať ako funkcia ďalších parametrov, bude pomer prírastok funkcie maximálny bod na tvrdenia, majú tendenciu k nule, keď prírastok argumentu blíži nule. V opačnom prípade, keď takýto prístup vedie k určitej kladnú alebo zápornú hodnotu, je určený bod, nie je vhodný, pretože zvýšením alebo znížením argument môže byť zmenený v závislosti hodnotu v požadovanom smere. V diferenciálnej terminológii počte, znamenalo by to, že požadované podmienky pre maximálnu funkcia je nulová hodnota jeho derivátu.

Ekonomika nie je nezvyčajné problém nájsť extrém funkcie viacerých premenných, pretože ekonomické ukazovatele sa skladá z mnohých faktorov. Takéto problémy sú dobre známe v teórii funkcií viacerých premenných, o spôsobe výpočtu diferenciál. Tieto problémy zahŕňajú nielen optimalizované a minimalizuje funkciu, ale aj obmedzenia. Tieto otázky sa týkajú matematického programovania a sú riešené s pomocou špeciálne vyvinuté metódy sú založené na tomto vednom odbore.

Medzi metódy diferenciálneho počtu používaných v ekonomike dôležitú časť je konečný test. V ekonomickej sfére, termín sa odkazuje na sadu metód výskumu premenlivé výkonnosti a výsledkov, ak zmeníte hlasitosť o zriadení, spotreby, na základe analýzy ich limitných hodnôt. Obmedzenie indikácie považovaný za derivát alebo parciálne derivácie s niekoľkými premenných.

Diferenciálny počet funkcií viac premenných - dôležitou témou matematickej analýzy. Pre detailné štúdiu, môžete použiť celý rad učebných pomôcok pre vysokých škôl. Jedným z najznámejších vytvorených Fikhtengol'ts - "diferenciálneho a integrálneho počtu." Koľko mená pre riešenie diferenciálnych rovníc značný význam mať schopnosti pracovať s integrály. Keď tam je diferenciálny počet funkcií jednej premennej, rozhodnutie sa stáva jednoduchšie. Aj keď treba poznamenať, že sa riadi rovnakými základnými pravidlami. V praxi vyšetrovať funkciu diferenciálneho počtu, stačí nasledovať už existujúce algoritmus, ktorý je uvedený na strednej škole, a len o niečo zložitejšie so zavedením nových premenných.