Double integrálne. Úlohy. vlastnosti

Problémy, ktoré vedú k pojmu "double integrálne".

1. Nech plochého doskového materiálu v každom bode, ktorého hustota je známy v rovine definovanej. Musíme nájsť veľa tohto záznamu. Vzhľadom k tomu, doska má jasné rozmery, môže byť uzavretý do obdĺžnika. možno chápať ako hustota dosky je tiež to: v týchto bodoch obdĺžniku, ktoré nepatria k doske, predpokladáme, že hustota je nula. Definujeme jednotný lámanie pri rovnakom počte častíc. To znamená, že vopred stanovený tvar je rozdelená do elementárnych obdĺžniky. Zoberme si jeden z týchto obdĺžnikov. Vyberte ľubovoľný bod obdĺžnika. S ohľadom na malú rozlohou rozmerov obdĺžnika bude sa predpokladať, že hustota v každom bode obdĺžnika je konštantná. Potom sa hmota z obdĺžnikové častíc, sa určí ako násobok hustoty v tomto bode v oblasti obdĺžnika. Táto oblasť je známa, je násobenie obdĺžnika dĺžky šírkou. A na druhej súradnici lietadlo - zmenu s niektorými krokmi. Potom hmotnosť celého záznamu bude súčet hmotností týchto obdĺžnikov. Ak takýto pomer ísť na hranici, potom sa môžete dostať presný pomer.
2. Definujeme priestorové teleso, ktoré je ohraničené pôvodu a funkcie. Musíme nájsť objem telesa. Rovnako ako v predchádzajúcom prípade, delíme oblasť do obdĺžnikov. Predpokladáme, že v miestach, ktoré nepatria do domény, funkcie sa bude rovnať 0. Uvažujme jeden z pravouhlých rozbité. Prostredníctvom stranách obdĺžnika čerpať rovinami, ktoré sú kolmé na osi vodorovnej a zvislej osi. Získame kvádra, ktorý je ohraničený zdola vzhľadom na rovinu osi, a na hornej strane tejto funkcie, ktorá bola definovaná v probléme. Vyberte si v stredu obdĺžnika bodu. Vzhľadom k malej veľkosti obdĺžnika možno predpokladať, že funkcia v rámci tohto obdĺžnika má konštantnú hodnotu, potom si môžete vypočítať objem obdĺžnika. A tvary objem sa rovná súčtu všetkých množstvo takých obdĺžnikov. Ak chcete získať presnú hodnotu, musíte ísť k hraniciam.

Ako je zrejmé z úloh v každom príklade, sme došli k záveru, že rôzne problémy vedú na zváženie dvojité množstvo rovnakého druhu.

Vlastnosti dvojitých integrálov.

Sme predstavovať problém. Predpokladajme, že v určitej uzavretej oblasti je daná funkcia dvoch premenných, s tými, ktoré daný spojité funkcie. Keďže je to oblasť je ohraničená, potom to môže byť umiestnený v akejkoľvek obdĺžniku, ktorý úplne obsahuje vlastnosti vopred stanovenej oblasti bodu. Delíme na obdĺžnik na dve rovnaké časti. Hovoríme, že najväčší priemer lámanie uhlopriečky výsledných obdĺžnikov. Teraz si vybrať hranice tohto obdĺžnika bodu. Ak zistíte, je hodnota v tomto bode je stanoviť čiastku, potom sa táto suma sa bude volať integrál funkcie v danej doméne. Hranice takého integrálneho súčtu, za podmienok, že priemer prestávky byť 0, a počet obdĺžnikov - nekonečno. Ak takýto hranice existuje, a nezávisí od spôsobu rozbitie oblasť do obdĺžnikov a výber podmienok, potom sa nazýva - dvojitý integrál.

Geometrický obsah dvojitého integrálu: dvojitý základný číslovky rovnaký objem telesa, ktorá bola popísaná v problém 2.

Poznať dvojitý integrál (definícia), môžete nastaviť nasledujúce vlastnosti:

1. Konštanta môže uskutočniť mimo integrálnou znamenie.
2. Integrálne súčet (rozdiel) je rovná súčtu (rozdiel) integrálov.
3. Z funkcie bude menší ako to, že dvojitý integrál je menšia.
4. Modul môže byť vykonaná v znamení dvojitý integrál.