Čo je to fraktál? Fraktály v prírode

Často brilantné objavy urobené vo vede vedia radikálne zmeniť život. Napríklad vynález vakcíny môže ušetriť veľa ľudí a vytváranie nových zbraní vedie k vražde. Doslova včera (v rozsahu histórie) človek "skopuloval" elektrinu a dnes si nemôže predstaviť svoj život bez neho. Existujú však aj také objavy, ktoré podľa nich zostávajú v tieni a napriek tomu, že majú aj určitý vplyv na náš život. Jedným z takýchto objavov bol fraktál. Väčšina ľudí o tomto koncepte ani nepočula a nebude môcť vysvetliť jeho význam. V tomto článku sa budeme snažiť porozumieť otázke, čo je fraktál, zvážiť význam tohto pojmu z pozície vedy a prírody.

Objednávka v Chaose

Aby sme pochopili, čo je to fraktál, mali by sme začať analýzu letov z pozície matematiky, ale predtým, než sa ponoríme do presných vied, sme trochu filozofická. Každý človek má prirodzenú zvedavosť, prostredníctvom ktorej pozná svet okolo seba. Často vo svojom úsilí o poznanie sa pokúša pracovať s logikou vo svojich úsudkoch. Takže analýzou procesov, ktoré sa vyskytujú okolo, sa snaží vypočítať vzťahy a odvodiť určité zákonitosti. Najväčšie mysle planéty sa zaoberajú riešením týchto problémov. Zhruba povedané, naši vedci hľadajú vzory, ak neexistujú, a nemali by byť. A napriek tomu, dokonca aj v chaose, existuje spojitosť medzi týmito udalosťami alebo týmito udalosťami. To je spojenie, ktoré je fraktálom. Ako príklad uvažujme rozbitú vetvu ležícu na ceste. Ak sa na to pozriete, uvidíme, že je to ako strom so všetkými jeho vetvami a uzlami. Tu sa táto podobnosť samostatnej časti s jedným celkom svedčí o takzvanom princípe rekurzívnej seba-podobnosti. Fraktály v prírode možno nájsť veľmi často, pretože sa podobne vytvoria mnohé anorganické a organické formy. Toto sú mraky, morské mušle a škrupiny slimákov, koruny stromov a dokonca aj obehový systém. Tento zoznam môže pokračovať na neurčitý čas. Všetky tieto náhodné formy ľahko opisujú fraktálny algoritmus. Tu sme prišli zvážiť, čo je fraktál z pozície presných vied.

Niekoľko suchých faktov

Slovo "fraktál" v latinčine je preložené ako "čiastočné", "rozdelené", "fragmentované" a pokiaľ ide o obsah tohto pojmu, neexistuje žiadna formulácia ako taká. Zvyčajne sa s ňou zaobchádza ako s podobným súborom, ktorý je súčasťou celku, čo sa opakuje jeho štruktúrou na mikroúrovni. Tento termín bol vynájdený v sedemdesiatych rokoch dvadsiateho storočia Benoitom Mandelbrotom, ktorý je považovaný za otca fraktálnej geometrie. Dnes koncept fraktálu znamená grafické znázornenie štruktúry, ktorá bude podobne ako vo väčšom meradle podobná samotnej štruktúre. Matematický základ pre vytvorenie tejto teórie však bol položený ešte pred narodením samotného Mandelbrota, ale nemohol sa rozvinúť, kým sa neobjavili elektronické počítače.

Historický odkaz, alebo Ako to všetko začalo

Na prelome 19. a 20. storočia bolo štúdium povahy fraktálov epizodické. Je to spôsobené tým, že matematici uprednostňovali štúdium predmetov, ktoré je možné študovať na základe všeobecných teórií a metód. V roku 1872 vytvoril nemecký matematik K. Weierstrass príklad nepretržitého fungovania, ktorý nie je nikde diferenciovateľný. Avšak táto konštrukcia sa ukázala byť úplne abstraktná a ťažko vnímaná. Ďalej prišiel Švédy Helge von Koch, ktorý v roku 1904 vybudoval kontinuálnu krivku, ktorá nemá žiadnu dotyčnicu. Je pomerne ľahké kresliť a ako sa ukázalo, je charakterizované fraktálnymi vlastnosťami. Jedna z variantov tejto krivky bola pomenovaná na počesť jej autora - "snehová vločka Koch". Ďalšou myšlienkou vlastnej podobnosti čísel vyvíjala budúca inštruktorka B. Mandelbrota, francúzsky prezident Paul Levy. V roku 1938 publikoval článok "Ploché a priestorové krivky a povrchy pozostávajúce z častí ako celok." V ňom opísal nový druh - Levyovu C-krivku. Všetky vyššie uvedené čísla sú podmienene spojené s formou ako geometrické fraktály.

Dynamické alebo algebraické fraktály

Táto trieda zahŕňa súpravu Mandelbrot. Prvými vedcami tohto smeru boli francúzski matematici Pierre Fatou a Gaston Julia. V roku 1918 publikovala Julia prácu založenú na štúdiu iterácií racionálnych komplexných funkcií. Tu opísal rodinu fraktálov, ktoré sú úzko spojené so súborom Mandelbrot. Napriek tomu, že táto práca oslavila autora medzi matematikami, bola rýchlo zabudnutá. A len o pol storočia neskôr vďaka počítačom získala Julia druhý život. Počítače umožnili viditeľne vidieť pre každého človeka, že krása a bohatstvo sveta fraktálov, ktoré môžu "vidieť" matematikov a zobrazovať ich prostredníctvom funkcií. Mandelbrot bol prvý, kto použil počítač na vykonanie výpočtov (takýto zväzok sa nedá manuálne vykonať), čo umožnilo vytvoriť obraz týchto obrázkov.

Muž s priestorovou predstavivosťou

Mandelbrot začal svoju vedeckú kariéru vo výskumnom centre spoločnosti IBM. Štúdie o možnostiach prenosu dát na dlhé vzdialenosti vedci čelili veľkým stratám, ktoré vznikli v dôsledku rušenia hlukom. Benoit hľadal spôsoby, ako vyriešiť tento problém. Pri pohľade na výsledky meraní upriamil pozornosť na zvláštny vzor, a to: hlukové grafy vyzerali rovnako v rôznych časových odstupoch. Podobný obraz bol pozorovaný tak na obdobie jedného dňa, ako aj na sedem dní alebo hodinu. Benois Mandelbrot sám často povedal, že nepracuje s formami, ale hrá s obrázkami. Tento vedec sa líšil v obrazovom myslení, preložil akýkoľvek algebraický problém do geometrickej oblasti, kde je zrejmé správna odpoveď. Takže nie je prekvapujúce, že taká osoba, ktorá je bohatá na priestorové myslenie, sa stala otcom fraktálnej geometrie. Koniec koncov, uvedomenie si tohto čísla môže prísť len vtedy, keď budete študovať kresby a uvažovať nad významom týchto zvláštnych zvratov, ktoré tvoria vzor. Fraktálne vzory nemajú rovnaké prvky, ale majú podobnosť v akomkoľvek rozsahu.

Julia - Mandelbrot

Jednou z prvých kresieb tohto obrázku bola grafická interpretácia súboru, ktorý sa narodil vďaka dielam Gastona Julia a bol upravený Mandelbrotom. Gaston sa pokúsil predstaviť, ako súbor vyzerá, postavený na základe jednoduchého vzorca, ktorý stratí spätná väzba. Pokúsme sa vysvetliť to, čo bolo povedané s ľudským jazykom, tak povediac, na prstoch. Pre určitú číselnú hodnotu použijeme vzorec na nájdenie novej hodnoty. Nahradíme ho do vzorca a nájdeme nasledovné. Výsledkom je veľká numerická sekvencia. Ak chcete predstaviť takúto množinu, je potrebné vykonať túto operáciu obrovské množstvo krát: stovky, tisíce, milióny. To Benoit urobil. Spracoval sekvenciu a výsledky preniesol do grafickej podoby. Následne nakreslil výsledný obrázok (každá farba zodpovedá určitému počtu opakovaní). Tento grafický obrázok bol pomenovaný ako "Mandelbrot Fractal".

L. Carpenter: umenie vytvorené prírodou

Teória fraktálov rýchlo našla praktickú aplikáciu. Vzhľadom na to, že je veľmi úzko spätá s vizualizáciou obrazov s vlastnou podobnosťou, prvý, kto prijal zásady a algoritmy na vytvorenie týchto nezvyčajných foriem, sú umelci. Prvým z nich bol budúci zakladateľ štúdia Pixar Lauren Carpenter. Práca na prezentácii prototypov lietadiel mu napadlo, aby využil obraz hôr ako pozadia. Dnes môže takúto úlohu zvládnuť takmer každý užívateľ počítača a v sedemdesiatych rokoch minulého storočia počítače nemohli tieto procesy vykonávať, pretože v tom čase neboli k dispozícii grafické editory a aplikácie pre 3D grafiku. A tak zaujal Loren Mandelbrotov knihu "Fraktály: forma, nehoda a rozmer." Benoit uviedol veľa príkladov, ktoré ukazujú, že v prírode sú fraktály (fyva), opísal ich rôznorodú formu a tvrdil, že sú ľahko opísané matematickými výrazmi. Matematik citoval túto analógiu ako argument pre užitočnosť teórie, ktorú vyvinul v reakcii na kritický kritik svojich kolegov. Tvrdili, že fraktál - je to len krásny obraz, ktorý nemá žiadnu hodnotu, čo je vedľajší produkt práce elektronických strojov. Carpenter sa rozhodol testovať túto metódu v praxi. Po dôkladnom štúdiu knihy začal budúci animátor hľadať spôsob, ako implementovať fraktálnu geometriu v počítačovej grafike. Trvalo mu to len tri dni, aby si predstavil veľmi realistický obraz horskej krajiny na svojom počítači. A dnes je tento princíp široko používaný. Ako sa ukázalo, vytváranie fraktálov netrvá veľa času a úsilia.

Carpenterovo riešenie

Princíp, ktorý Lauren používa, bol jednoduchý. Spočíva v rozdelení väčších geometrických čísel na menšie prvky a na menšie prvky rovnakej veľkosti atď. Carpenter, pomocou veľkých trojuholníkov, rozdrvil ich do 4 malých a tak ďalej, kým sa nedostal realistickej horskej krajiny. Preto sa stal prvým umelcom, ktorý použil fraktálny algoritmus v počítačovej grafike na vytvorenie požadovaného obrazu. Dnes sa tento princíp používa na simuláciu rôznych realistických prírodných foriem.

Prvá 3D vizualizácia na fraktálovom algoritme

O pár rokov neskôr Lauren využil svoju prácu vo veľkom projekte - animačnom klipu Vol Libre, ktorý bol uvedený na Siggraph v roku 1980. Toto video šokovalo veľa a jeho tvorca bol pozvaný pracovať v spoločnosti Lucasfilm. Tu animátor dokázal v plnej miere realizovať trojdimenzionálnu krajinu (celú planétu) pre celovečerný film "Star Trek". Každý moderný program ("Fractals") alebo aplikácia na vytváranie trojrozmernej grafiky (Terragen, Vue, Bryce) používa rovnaký algoritmus na modelovanie textúr a povrchov.

Tom Beddard

V minulosti, laserový fyzik, teraz digitálny majster a umelec, Beddard vytvoril rad veľmi zaujímavých geometrických postáv, ktoré nazval fraktály Faberge. Vonkajšie sa podobajú dekoratívnym vajciam ruského klenotníka s rovnakým brilantným zložitým vzorom. Beddard použil šablónovú metódu na vytvorenie vlastných digitálnych vizualizácií modelov. Prijaté výrobky ohromujú krásu. Hoci mnohí odmietajú porovnávať produkt ručne s počítačovým programom, malo by byť uznané, že získané formuláre sú nezvyčajne pekné. Zvýraznenie je, že ktokoľvek môže vytvoriť takýto fraktál pomocou knižnice softvéru WebGL. Umožňuje vám v reálnom čase preskúmať rôzne fraktálne štruktúry.

Fraktály v prírode

Len málo ľudí venuje pozornosť, ale tieto úžasné postavy sú všade. Príroda je vytvorená zo seba podobných postáv, jednoducho si ju nevšimujeme. Stačí stačiť lupou na koži alebo listom stromu a uvidíme fraktály. Alebo si vziať napríklad ananás alebo dokonca chvost peacov - pozostávajú z podobných čísel. Rozmanitosť brokolicových brokolic Romanescu vo všeobecnosti prekvapuje svojim vzhľadom, pretože sa naozaj môže nazvať zázrakom prírody.

Hudobné pauzy

Ukazuje sa, že fraktály sú nielen geometrické postavy, ale aj zvuky. Takže hudobník Jonathan Colton píše hudbu pomocou fraktálnych algoritmov. Tvrdí, že takáto melódia zodpovedá prirodzenému súladu. Skladateľ uverejňuje všetky svoje diela pod licenciou Creative Commons Attribution-Noncommercial, ktorá zabezpečuje bezplatnú distribúciu, kopírovanie a prevod diel inými osobami.

indikátor fraktálne

Táto technika našla veľmi nečakanú aplikáciu. Na jej základe bol vytvorený nástroj na analýzu trhu s akciovými trhmi a v dôsledku toho bol použitý na trhu Forex. Teraz je indikátor fraktál na všetkých obchodných platformách a používa sa v obchodných zariadeniach, ktoré sa nazývajú cenová prestávka. Vyvinul túto techniku Bill Williams. Ako autorka komentuje svoj vynález, tento algoritmus je kombináciou niekoľkých "sviečok", v ktorých centrálna odráža maximálny alebo naopak minimálny extrémny bod.

Na záver

Takže sme sa pozreli na to, čo je fraktál. Ukazuje sa, že v chaose, ktorý nás obklopuje, v skutočnosti existujú ideálne formy. Príroda je najlepší architekt, ideálny staviteľ a inžinier. Je to veľmi logicky usporiadané a ak nemôžeme nájsť zákon, neznamená to, že neexistuje. Možno ju musíte hľadať v inom rozsahu. Môžeme s istotou povedať, že fraktály ukladajú oveľa viac tajomstiev, ktoré ešte musíme objaviť.