Rozdiely - Čo je to? Ako nájsť diferenciál funkcie?

Spolu s derivátmi ich funkcie diferenciály - it niektoré základné pojmy diferenciálneho počtu, hlavnej časti matematickej analýzy. Ako neoddeliteľne spojené, obe z nich niekoľko storočí široko používaný pri riešení takmer všetkých problémov, ktoré vznikli v priebehu vedecké a technické činnosti.

Vznik konceptu diferenciálu

Prvýkrát jasne najavo, že takéto diferenciál, jedného zo zakladateľov (spolu s Isaakom Nyutonom) diferenciálnej Slávny nemecký matematik Gotfrid Vilgelm Leybnits. Pred tým matematici 17. storočia. používa veľmi nejasný a vágne predstavu o niektorých nekonečne "nečleneného" akékoľvek známe funkcie, čo predstavuje veľmi malú konštantnú hodnotu, ale nie je rovná nule, pod ktorou sa hodnoty funkcia nemôže byť jednoducho. Z toho dôvodu, že iba jeden krok k zavedeniu pojmov nekonečne malých prírastkoch argumenty funkcie a ich príslušných krokoch funkcií, ktoré môžu byť vyjadrené v podmienkach derivátov druhej. A tento krok bol urobený takmer súčasne vyššie dvoch veľkých vedcov.

na potrebu riešiť naliehavé problémy praktické mechaniky s ktorými sa stretávajú vedy založené na rýchlo sa rozvíjajúce odvetvie a technológií, Newton a Leibniz vytvoril spoločné spôsoby zistenia funkcie rýchlosti zmeny (najmä s ohľadom na mechanickú rýchlosti telesa známeho trajektórie), ktorý viedol k zavedeniu týchto pojmov, ako derivácie funkcie a diferenciálu, a tiež zistili, že algoritmus inverzný riešenie problémov ako je samo o sebe známe (premenné otáčky) prechádza nájsť cestu, ktorá viedla k pojmu integrálu Ala.

V prácach Leibniz a Newton nápadu Spočiatku to vyzeralo, že diferenciály - je priamo úmerné zvýšenie základných argumentov Ah krokoch po Au funkcie, ktoré možno úspešne použiť na výpočet hodnoty z druhej. Inými slovami, bolo zistené, že funkcia prírastok môže byť v každom bode (vo svojom odbore definícia), vyjadrené v jeho derivát ako Au = y, (x) Ah + αΔh kde α Ah - zvyšok má sklon na nulu, keď Ah → 0, oveľa rýchlejšie než skutočný Ah.

Podľa zakladateľov matematickej analýzy, diferenciály - to je presne to prvý termín v krokoch po akýchkoľvek funkcií. Aj bez nutnosti jasne definované hranice koncepcie sekvencie sa rozumie intuitívne, že diferenčné hodnota derivátu má tendenciu fungovať pri Ah → 0 - Au / Ah → y, (x).

Na rozdiel od Newton, ktorý bol v prvom rade fyzik a matematický aparát považované ako pomocný nástroj pre štúdium fyzikálnych problémov, Leibniz venovať viac pozornosti k tejto výbavy, vrátane systému vizuálnych a zrozumiteľnými symbolmi matematických hodnôt. To on navrhol štandardné notáciu diferenciály funkcie dy = y, (x) dx, dx, a derivácie funkcie argumentu ich vzťah y '(x) = dy / dx.

moderné definície

Aký je rozdiel, pokiaľ ide o moderné matematiky? To úzko súvisí s konceptom premenným prírastok. Ak je premenná y má prvú hodnotu y y = _1, potom y = y _2, rozdiel y ₂ ─ y _1, sa nazýva hodnota prírastku y. Prírastok môže byť pozitívne. negatívne a nula. Slovo "prírastok" je označený ó, Au záznamu (čítať, delta y ') označuje hodnotu inkrementov y. tak Au = y ₂ ─ y _1.

V prípade, že hodnota Au ľubovoľná funkcia y = f (x) môžu byť reprezentované ako Au = A Ah + a, kde A je nie závislosť na Ah, t. E. = konšt pre dané x, a termín α pri Ah → 0 tendenciu to je ešte rýchlejší, než je skutočná Ah, potom prvý ( "master") termín proporcionálne Ah, a je pre y = f (x) diferenciálu, označený dy alebo df (x) (čítať "y de", "de eff od X"). Preto diferenciály - "hlavné" lineárna vzhľadom ku zložkám prírastkoch AH funkcií.

mechanická vysvetlenie

Nech s = f (t) - vzdialenosť v priamom smere pohybujúce sa materiál bod z počiatočnej polohy (t - čas jazdy). Prírastok? S - je cesta bod v časovom intervale At, a diferenciálnej ds = f, (t) At - táto cesta, ktorý bod sa bude konať po rovnakom čase At, ak to udržalo rýchlosť f '(t), dosiahne v čase t , Keď nekonečne At ds imaginárny dráha sa líši od skutočnej? S nekonečne má vyššie poradie s ohľadom na At. V prípade, že rýchlosť v čase t sa nerovná nule, DS orientačná hodnota dáva malý zaujatosť bod.

geometrická interpretácia

Nechajte linky L je graf y = f (x). Potom Δ x = MQ, Au = QM, (viď obr. Nižšie). Tangent MN prestávky Au rez do dvoch častí, QN a NM '. Prvý a Ah je úmerná QN = MQ ∙ tg (uhol QMN) = Ah f, (x), t. E QN dy rozdiel.

Druhá časť rozdielu Au NM'daet ─ dy, kedy Ah dĺžka → 0 NM, klesá ešte rýchlejšie, než prírastok argumentu, to znamená, že má malú rozlohou poradí vyššie ako Ah. V tomto prípade, ak je f, (x)? 0 (nerovnobežné dotýkajúcich ox) segmentov QM'i QN ekvivalentné; inými slovami, NM, rýchlo znižuje (poradie nevelikosti jeho vyššiu), než je celkový prírastok Au = QM '. To je zrejmé na obrázku (blížiace sa segmentom M'k M NM'sostavlyaet všetky menšie percento QM, segmentu).

Takže, graficky diferenciálnej ľubovoľná funkcia je rovnaká ako prírastok súradnicu dotyčnice.

Derivácie a diferenciál

Faktor v prvom funkčnom funkcie výraz prírastok sa rovná hodnote jeho derivát f, (x). To znamená, že nasledujúce vzťah - dy = f '(x) Ah alebo df (x) = f' (x) Ah.

Je známe, že prírastok nezávislého argumentu rovná jeho diferenciálnej Ah = dx. V súlade s tým možno písať: f, (x) dx = dy.

Nájdenie (niekedy hovorí, že je "rozhodnutie"), diferenciály sa vykonáva za rovnakých podmienok ako pre deriváty. Ich zoznam je uvedený nižšie.

Čo je univerzálnejší: prírastok argumentu alebo jeho diferenciálu

Tu je nutné vykonať určité objasnenie. Zastúpenie hodnota f, (x), rozdiel Ah možné, keď s ohľadom na x ako argument. Ale funkcia môže byť zložité, v ktorom x môže byť funkcia argumentu t. Potom reprezentácia diferenciálnej expresie f, (x) Ah, ako pravidlo, že je nemožné; s výnimkou v prípade lineárnej závislosti x = v + b.

Čo sa týka všeobecného vzorca f, (x) dx = dy, potom v prípade nezávislého argumentu x (potom dx = Ah) v prípade parametrické závislosti x t, to je rozdiel.

Napríklad, výraz 2 x Ah je pre y = x ^2, diferenciálne, keď x je argumentom. Teraz x = t ² a budeme predpokladať, t argumentu. Potom y = x ² = t ^4.

Toto je nasledované (t + At), ² = t ² + 2tΔt + At ^2. Preto Ah = 2tΔt + At ^2. Z tohto dôvodu: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + At ^2).

Tento výraz nie je úmerná At, a preto je teraz 2xΔh nie je diferenciálnej. To môže byť zistené z rovnice y = x ² = t ^4. To je rovnaké dy = 4t ³ At.

Ak vezmeme expresné 2xdx, to je rozdiel y = x ² pre všetky argumentu t. V skutočnosti, keď x = t ² získať dx = 2tΔt.

Tak 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ delta t, t. E. Expresná diferenciály zaznamenanej dvoma rôznymi premennými zhodujú.

Výmena prírastkoch diferenciály

Ak je f, (x) ≠ 0, potom Au a dy ekvivalent (pri Ah → 0); Ak je f, (x) = 0 (zmysle a dy = 0), nie sú ekvivalentné.

Napríklad, ak y = x ^2, potom Au = (x + Ah) ² ─ x ² = 2xΔh + Ah ² a dy = 2xΔh. Ak je x = 3, potom musíme Au = 6Δh + AH ² a dy = 6Δh, ktoré sú ekvivalentné vzhľadom Ah ² → 0, keď x = 0 hodnota Au = Ah ² a dy = 0, nie sú ekvivalentné.

Táto skutočnosť, spolu s jednoduchou štruktúrou diferenciálu (m. E. Linearita vzhľadom k Ah), je často používaný v približný výpočet, za predpokladu, že AÚ ≈ dy pre malé Ah. Nájsť rozdiel funkcia je zvyčajne jednoduchšie, ako vypočítať presnú hodnotu prírastku.

Napríklad, máme kovový kocky s hranou x = 10,00 cm. Pri zahrievaní okraje predĺženej na Ah = 0,001 cm. Ako zvýšený objem kocky V? Máme V = x ^2, takže dV = 3x ² = Ah 3 ∙ ∙ ^10. februára 0/01 = 3 (cm ^3). Zvýšená Av ekvivalentné rozdiel dV, takže Av = 3 ^cm3. Full výpočet by dával Av = 10,01 ─ ³ z 10 ³ = 3.003001. Ale je výsledkom všetkých číslic okrem prvého nespoľahlivé; preto, že je stále potrebné zaokrúhliť až 3 ^cm3.

Je zrejmé, že tento prístup je užitočné len v prípade, že je možné odhadnúť hodnotu dodávanú s chybou.

Diferenciálny funkcie: príklady

Skúsme nájsť diferenciál funkcie y = x ³ nájsť derivát. Dajme argumentu prírastok AU a definovať.

Au = (Ah + x) ³ ─ x ³ = 3 x ² + H (Ah 3xΔh ² + ^3).

Tu je koeficient A = 3x ² nezávisí na Ah, tak, že prvý člen je proporcionálny Ah, druhý člen 3xΔh Ah ² + ³ Pri Ah → 0 klesá rýchlejšie ako prírastok argumentu. V dôsledku toho, člen 3x ² Ah je diferenciál y = x ^3:

dy = 3x ² Ah = 3x ² dx alebo d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Kde d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Teraz nájsť funkcie y = 1 / x u derivátu. Potom d (1 / x) / dx = ─1 / x ^2. Preto dy = ─ Ah / x ^2.

Diferenciály základné algebraické funkcie sú uvedené nižšie.

Približné výpočty pomocou diferenčné

Pre vyhodnotenie funkcie f (x), a jeho derivát f, (x) v x = a je často ťažké, ale to isté v okolí x = a nie je ľahké. Potom príde na pomoc približné vyjadrenie

f (a + Ah) ≈ f, (a) Ah + f (a).

To dáva približnú hodnotu funkcie v malých krokoch prostredníctvom svojej diferenciálnej Ah f, (a) Ah.

Preto tento vzorec dáva približnú výraz pre funkciu v koncovom bode časti dĺžky Ah ako súčtu ich hodnoty v počiatočnej bod úseku (x = a) a rozdielu v rovnakej východiskový bod. Presnosť metódy na stanovenie hodnoty funkcie ilustruje výkres.

Avšak známe a presný výraz pre hodnoty funkcie x = a + Ah podľa vzorca konečných krokoch (alebo, alternatívne, Lagrangeovho vzorec)

f (a + Ah) ≈ f, (ξ) Ah + f (a),

kde bod x = a + ξ je v intervale od x = a do x = a + Ah, hoci jeho presná poloha nie je známa. Presný vzorec umožňuje vyhodnotiť chybu približné vzorce. Keď dáme do Lagrangeovho vzorca £ = Ah / 2, aj keď prestane byť presné, ale dáva, spravidla oveľa lepší prístup, než pôvodného výrazu, pokiaľ ide o diferenciálu.

Hodnotiaci vzorca chyba použitím rozdielu

Meracie prístroje , v zásade, nepresné, a priviesť do nameraných údajov zodpovedajúcich chybe. Sú charakteristické tým, že obmedzuje absolútna chyby, alebo, v krátkosti, medzná chyba - pozitívne, zreteľne nad chybu v absolútnej hodnote (alebo nanajvýš rovná to). Obmedzenie relatívna chyba sa nazýva Kvocient získaný delením absolútnej hodnoty namerané hodnoty.

Nech presný vzorec y = f (x) funkcia používa na vychislyaeniya y, ale hodnota x je výsledok merania, a preto prináša chybu y. Potom, nájsť obmedzujúce absolútna chyba │Δu│funktsii y podľa vzorca

│Δu│≈│dy│ = │ f, (x) ││Δh│,

kde │Δh│yavlyaetsya okrajová chyba argumentom. │Δu│ množstvo musia byť zaoblené smerom hore, ako je Samotný nepresné výpočty je nahradenie prírastku o výpočte diferenciálu.